Mohlo by sa hodiť

Trojuholník $ABC$ je pravouhlý s pravým uhlom pri vrchole $C$ práve vtedy, keď $AB$ je priemerom kružnice opísanej trojuholníku $ABC$.

Majme oblúk $AB$ na kružnici so stredom $S$. Uhol $ASB$ sa nazýva stredový uhol k oblúku (nad tetivou) $AB$. Nech $X$ je ľubovoľný bod na dlhšom oblúku $AB$, potom uhol $AXB$ sa nazýva obvodový k oblúku (nad tetivou) $AB$ a jeho veľkosť je rovnaká pre každú polohu bodu $X$, a to polovica veľkosti príslušného stredového uhla.

Tetivový štvoruholník je taký, ktorému sa dá opísať kružnica. Štvoruholník je tetivový práve vtedy, keď je súčet veľkostí jeho protiľahlých vnútorných uhlov $180°$.

Majme v rovine bod $M$ a danú kružnicu $k$ so stredom $S$ a polomerom $r$. Mocnosť bodu $M$ ku kružnici $k$ nazývame reálne číslo $m=v^2-r^2$, kde $v=|MS|$. Dá sa ukázať, že ak je bod $M$ vo vonkajšej (resp. vnútornej) oblasti kružnice a $p$ je ľubovoľná priamka prechádzajúca bodom $M$, ktorá pretína kružnicu $k$ v bodoch $P,Q$, platí $m=|MP||MQ|\text{ (resp. }m=-|MP||MQ|$). Je zaujímavé, že tento súčin je rovnaký bez ohľadu na priamku $p$ a je určený len bodom $M$ a kružnicou $k$.

Majme teraz v rovine 2 kružnice $k$, $l$. Chordálou dvoch kružníc nazývame množinu všetkých bodov, ktoré majú rovnakú mocnosť k obom kružniciam. Dá sa ukázať, že chordálou dvoch nesústredných kružníc je vždy priamka kolmá na spojnicu ich stredov. Odtiaľ ľahko vyplýva, že chordálou dvoch pretínajúcich sa kružníc bude priamka určená ich priesečníkmi.

Viac o tejto téme sa môžeš dozvedieť z tohto materiálu.

Majme kružnicový oblúk $AB$ a na opačnom oblúku bod $X$. Nech $P$ je bod mimo polroviny $ABP$ taký, že $BP$ je dotyčnica k našej kružnici. Potom uhol $\sphericalangle ABP$ nazývame úsekovým uhlom pri oblúku $AB$ a tetive $AB$ a $|\sphericalangle ABP|=|\sphericalangle AXB|$.

Ak sa snažíme niečo dokázať pre všetky prirodzené čísla počnúc niektorým, stačí nám ukázať platnosť nášho tvrdenia pre toto počiatočné číslo a potom ukázať platnosť tvrdenia: „Ak naše tvrdenie platí pre číslo $n$, potom platí aj pre číslo $n+1$.“ Základná myšlienka takého dôkazu sa často ukazuje na domine. Niekedy sa tieto kvádre stavajú do dlhého radu tak, aby každý pri svojom páde so sebou stiahol na zem aj svojho bezprostredného suseda. Potom na to, aby spadli všetky kocky, postačí zhodenie prvej z nich. Inak povedané, ak vieme, že $n$-tá kocka zapríčiní pád $(n+1)$-tej, stačí nám zapríčiniť pád 1. kocky radu.

Majme $n$ predmetov a $m$ priehradiek. Chceme poukladať predmety do priehradiek tak, aby každý predmet bol v práve jednej priehradke. Dirichletov princíp je jednoduché tvrdenie, že ak je $n>m$ (predmetov viac ako priehradiek), tak potom v aspoň jednej priehradke budú aspoň dva predmety. (V silnejšej verzii vieme tvrdiť, že pri $n$ priehradkách a aspoň $kn+1$ predmetoch (pre prirodzené $k$) existuje priehradka s $k+1$ predmetmi.)

Táto technika sa používa najmä ako špeciálny prípad dôkazu sporom. Ak chceme dokázať, že neexistuje objekt spĺňajúci dané vlastnosti, môžeme napríklad predpokladať, že ak by taký objekt existoval, musel by existovať aj najmenší taký objekt. Ak však následne ukážeme, že vieme nájsť aj menší, dostaneme spor. Pozor však na nekonečné prípady. Viac sa môžeš dočítať napríklad tu.

V úlohách o celých číslach sa často pri riešení používajú zvyšky po delení nejakým číslom. Obzvlášť užitočné zvykne byť, keď dve čísla (dva výrazy) dávajú rovnaký zvyšok po delení tretím číslom. Preto na to máme špeciálny zápis, píšeme, že $a\equiv b(\mathrm{mod}n)$ a hovoríme, že $a$ je kongruentné s $b$ modulo $n$. Tento zápis znamená, že $a$ a $b$ dávajú rovnaký zvyšok po delení $n$ alebo ekvivalentne $n\mid (a-b)$ (rozdiel strán kongruencie je deliteľný jej modulom).

S kongruenciami možno pracovať podobne ako s rovnosťami — môžeme k obom stranám kongruencie pričítať nejaké číslo alebo ho od nich odčítať, môžeme obe strany vynásobiť nejakým číslom alebo ich vydeliť číslom nesúdeliteľným s modulom (delenie súdeliteľným číslom kongruenciu nezachovávaa, a teda vynásobenie strán kongruencie ľubovoľným číslom nie je ekvivalentná úprava) a môžeme tiež sčítať, odčítať alebo vynásobiť dve kongruencie so spoločným modulom.

Polynóm alebo aj mnohočlen stupňa $n$ je výraz v tvare $P(x)=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\cdots +a_n{x}^n$, kde $a_i$ sú dané konštanty, $a_n\ne 0$ a $x$ je premenná. Číslo $t$ sa nazýva koreň polynómu $P$, ak platí $P(t)=0$. V takom prípade výraz $(x-t)$ delí celý polynóm $P$, čiže $P(x)=(x-t)\cdot Q(x)$, kde $Q$ je polynóm stupňa $n-1$.

Pre kladné reálne čísla $x_1,x_2,\dots ,x_n$ platí, že ich kvadratický priemer je väčší, nanajvýš rovný (pričom rovnosť nastáva práve vtedy, keď $x_1=x_2=\cdots =x_n$) ich aritmetickému priemeru, t. j.

Pre kladné reálne čísla $x_1,x_2,\dots ,x_n$ platí, že ich aritmetický priemer je väčší, nanajvýš rovný (pričom rovnosť nastáva práve vtedy, keď $x_1=x_2=\cdots =x_n$) ich geometrickému priemeru, t. j.

Pre kladné reálne čísla $x_1,x_2,\dots ,x_n$ platí, že ich geometrický priemer je väčší, nanajvýš rovný (pričom rovnosť nastáva práve vtedy, keď $x_1=x_2=\cdots =x_n$) ich harmonickému priemeru, t. j.

Pre kladné reálne čísla $x_1,x_2,\dots ,x_n$ definujeme ich priemer $p$-tého rádu (kde $p$ je kladné celé číslo) ako

Priemer $p$-tého rádu čísel $x_1,x_2,\dots ,x_n$ je väčší, nanajvýš rovný ich priemeru $q$-tého rádu práve vtedy, keď $p\ge q$, t. j.

Nech $x_1\ge x_2\ge \cdots \ge x_n$ a $y_1\ge y_2\ge \cdots \ge y_n$ sú postupnosti reálnych čísel. Potom ak vynásobíme najväčšie číslo s najväčším, druhé s druhým atď., tak súčet takýchto súčinov je väčší alebo rovný ako keby sme ich násobili v inom poradí. Zároveň, ak vynásobíme najväčšie s najmenším, druhé s druhým najmenším atď., tak dostaneme najmenší súčet. Presnejšie, ak $z_1,z_2,\dots ,z_n$ je permutácia čísel $y_1,y_2,\dots ,y_n$, tak platí

Táto tematika sa na stredných školách veľmi nevyučuje, ale nie je to nič komplikované. Úlohou je len nájsť všetky funkcie, ktoré budú spĺňať zadanie. Najsilnejšia zbraň, ktorú máme v rukách, je to, že hľadaná funkcia spĺňa danú rovnosť pre všetky hodnoty premenných z jej definičného oboru. Preto môžeme funkcionálnu rovnicu riešiť tak, že skúsime za $x$ a $y$ dosádzať konkrétne hodnoty alebo výrazy. Takto odvodíme nutné podmienky, ktoré musí hľadaná funkcia spĺňať. Nejde však o podmienky postačujúce, a preto je potrebné výslednú funkciu do rovnice dosadiť a urobiť skúšku. Viac o tom, ako riešiť takéto úlohy, nájdeš napríklad tu.